Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$

Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.

Outras fórmulas de redução:

$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx}$ $\quad$ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cos}^n(x) dx}$

$\color{blue}{\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx}$ $\quad$ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx}$

$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx}$ $\quad$ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cotg}^n(x)\ dx}$

Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o cosseno elevado à enésima potência utilizando o método de integração por partes:

$$\int \text{cos}^n(x)\ dx = \\ \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x) \text{sen}(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\ dx$$

Seja a integral:

$$I = \int \text{cos}^n(x)\ dx$$

Reescrevemos o integrando como:

$$I = \int \text{cos}^{n-1}(x) \cdot \text{cos}(x)\ dx$$

Aplicando o método de integração por partes, fazemos $u=\text{cos}^{n-1}$ e $dv=\text{cos}(x)\ dx$. Assim, $du = -(n-1)\ \text{cos}^{n-2}(x)\ \text{sen}(x)\ dx$ e $v=\text{sen}(x)$. Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que $\displaystyle \int u\ dv = uv - \int v\ du$. Assim:

$$I = \cos^{n-1}(x) \ \text{sen}(x) + \\ \int (n-1)\cos^{n-2}(x)\ \text{sen}^2(x) \ dx\\ \ \\ I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ (n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ \text{sen}^2(x)\ dx$$

Utilizando a relação trigonométrica fundamental, temos que $\text{sen}^2(x)=1-\cos^2(x)$. Assim:

$$I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ (n-1)\int \cos^{n-2}(x) \left(1-\cos^2(x)\right) \ dx\\ \ \\ I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ (n-1)\int \left( \cos^{n-2}(x)-\cos^n(x) \right)\ dx\\ \ \\ I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ (n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ dx - (n-1) \int \cos^n(x)\ dx$$

A segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:

$$I+(n-1)I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ (n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ dx\\ \ \\ n\ I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ (n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ dx\\ \ \\ \boxed{I = \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\ \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\ dx}$$

Para $n=1$, teremos:

$$I_1 = \int \cos(x)\ dx\\ \ \\ I_1 = \text{sen} + C$$

Para $n=2$, teremos:

$$I_2 = \int \cos^2(x)\ dx\\ \ \\ I_2 = \frac{1}{2}\left( \cos(x)\ \text{sen}(x) + x \right) + C$$

Para $n=3$, teremos:

$$I_3 = \int \cos^3(x)\ dx\\ \ \\ I_3 = \frac{1}{3} \cos^2(x)\ \text{sen}(x) + \frac{2}{3}\ I_1\\ \ \\ I_3 = \frac{1}{3} \cos^2(x)\ \text{sen}(x) + \frac{2}{3} \text{sen}(x)+C$$

Para $n=4$, teremos:

$$I_4 = \int \cos^4(x)\ dx\\ \ \\ I_4 = \frac{1}{4} \cos^3(x)\ \text{sen}(x) + \frac{3}{4}\ I_2\\ \ \\ I_4 = \frac{1}{8} \left( 2\cos^3(x)\ \text{sen}(x) + 3\cos(x)\ \text{sen}(x) + 3x \right)+C$$

Métodos de integração:

• Por partes
  
• Tabular
  
• Por substituição
  
• Frações parciais
  
• Substituição trigonométrica
  
• Integrais literais resolvidas